Matematikastudycenter.com- Contoh menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna.
Metode pemfaktoran dan penggunaan rumus abc telah dipelajari pada tulisan terdahulu matematika kelas 10 SMA.
Sebelumnya diingat lagi dua rumus aljabar berikut ini:
| (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
Misalnya jika (x + 3)2 akan menghasilkan bentuk x2 + 6x + 9
atau x2 + 6x + 9 akan sama dengan (x + 3)2
Sebagai gambaran awal diberikan soal untuk diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna:
x2 + 6x + 5 = 0
Soal ini mirip dengan bentuk kuadrat sempurna yang sudah kita kenal pada pendahuluan di atas yaitu
x2 + 6x + 9
Modif sedikit biar muncul bentuk tersebut seperti ini:
x2 + 6x + 5 = 0
Pindahkan 5 ke ruas kanan dulu
x2 + 6x = − 5
Tambahkan suatu angka diruas kiri agar menjadi bentuk kuadrat sempurna, kebetulan kita sudah tahu bahwa angka yang harus ditambahkan adalah angka 9, jika sebelumnya belum tau, maka dapatnya angka 9 adalah dari separuhnya 6 yang dikuadratkan. (3 kuadrat)
Tambah 9 di ruas kiri, berarti ruas kanan juga harus di tambah 9
x2 + 6x + 9 = − 5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
Ruas kiri kembalikan ke bentuk asalnya:
(x + 3)2 = 4
ruas kiri diakarkan hingga hilang kuadratnya, demikian juga ruas kanan harus di akarkan.
(x + 3) = √4
Akar 4 bukan hanya 2, tetapi juga −2 sehingga:
x + 3 = ± 2
Saatnya penyelesaian:
x + 3 = 2
x = 2 − 3
x = − 1
atau
x + 3 = − 2
x = − 2 − 3
x = − 5
Jadi x = − 1 atau x = − 5
Untuk model soal pilihan ganda kadang lebih cepat dan efektif gunakan pemfaktoran saja. Contoh berikutnya:
Soal No. 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna
x2 + 8x − 9 = 0
Pembahasan
Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu:
8x → separuhnya 8 adalah 4, angka yang akan ditambahkan adalah 42 = 16
Sehingga:
x2 + 8x − 9 = 0
x2 + 8x = 9
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
x2 + 8x + 16 = 25
(x + 4)2 = 25
(x + 4) = √ 25
x + 4 = ± 5
x + 4 = 5
x = 1
atau
x + 4 = − 5
x = − 9
Soal No. 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna
x2 − 6x + 8 = 0
Pembahasan
Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu:
− 6x → separuhnya − 6 adalah −3, angka yang akan ditambahkan adalah (−3)2 = 9
Sehingga:
x2 − 6x + 8 = 0
x2 − 6x = − 8
x2 − 6x + 9 = − 8 + 9
x2 − 6x + 9 = 1
(x − 3)2 = 1
(x − 3) = √1
(x − 3) = ±1
x − 3 = 1
x = 4
atau
x − 3 = − 1
x = 2
Soal No. 3
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna
2 x2 − 5x + 3 = 0
Pembahasan
Bagi 2 lebih dahulu hingga persamaannya menjadi:
x2 − 5/2 x + 3/2 = 0
Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu:
− 5/2 x → separuhnya − 5/2 adalah − 5/4, angka yang akan ditambahkan adalah (− 5/4)2 = 25/16
Sehingga:
x2 − 5/2 x + 3/2 = 0
x2 − 5/2 x = − 3/2
x2 − 5/2 x + 25/16 = − 3/2 + 25/16
x2 − 5/2 x + 25/16 = − 24/16 + 25/16
x2 − 5/2 x + 25/16 = 1/16
(x − 5/4)2 = √(1/16)
(x − 5/4) = ± 1/4
x − 5/4 = 1/4
x = 1/4 + 5/4 = 6/4 = 3/2
atau
x − 5/4 = − 1/4
x = − 1/4 + 5/4 = 4/4 = 1